Leonhard Euler

Leonhard Euler (nombre completo, Leonhard Paul Euler) nació el 15 de abril de 1707 en Basilea, Suiza, y murió el 18 de septiembre de 1783 en San Petersburgo, Rusia. Fue un respetado matemático y físico, y está considerado como el principal matemático del siglo XVIII y como uno de los más grandes de todos los tiempos.

Vivió en Rusia y Alemania la mayor parte de su vida y realizó importantes descubrimientos en áreas tan diversas como el cálculo o la teoría de grafos. También introdujo gran parte de la moderna terminología y notación matemática, particularmente para el área del análisis matemático, como por ejemplo la noción de función matemática.^[1] También se le conoce por sus trabajos en los campos de la mecánica, óptica y astronomía.

Euler ha sido uno de los matemáticos más prolíficos, y se calcula que sus obras completas reunidas podrían ocupar entre 60 y 80 volúmenes.^[2] Una afirmación atribuida a Pierre-Simon Laplace expresa la influencia de Euler en los matemáticos posteriores: «Lean a Euler, lean a Euler, él es el maestro de todos nosotros.»^[3]

En conmemoración suya, Euler ha aparecido en la serie sexta de los billetes de 10 francos suizos, así como en numerosos sellos postales tanto suizos como alemanes y rusos. El asteroide (2002) Euler recibió ese nombre en su honor.

Euler nació en Basilea, Suiza, hijo de Paul Euler, un pastor luterano, y de Marguerite Brucker, hija de otro pastor. Tuvo dos hermanas pequeñas llamadas Anna Maria y Maria Magdalena. Poco después de su nacimiento, su familia se trasladó desde Basilea a la ciudad de Riehen, en donde Euler pasó su infancia. Por su parte, Paul Euler era amigo de la familia Bernoulli, famosa familia de matemáticos entre los que destacaba Johann Bernoulli, que en ese momento era ya considerado el principal matemático europeo, y que ejercería una gran influencia sobre el joven Leonhard.

La educación formal de Euler comenzó en la ciudad de Basilea, donde le enviaron a vivir con su abuela materna. A la edad de trece años se matriculó en la Universidad de Basilea, y en 1723 recibiría el título de maestro de Filosofía tras una disertación comparativa de las filosofías de René Descartes e Isaac Newton. Por entonces, Euler recibía lecciones particulares de Johann Bernoulli todos los sábados por la tarde, que descubrió rápidamente el increíble talento de su nuevo pupilo para las matemáticas.^[4]

En aquella época Euler se dedicaba al estudio de teología, griego, y hebreo siguiendo los deseos de su padre, y con la vista puesta en convertirse también en pastor. Johann Bernoulli intervino para convencer a Paul Euler de que Leonhard estaba destinado a convertirse en un gran matemático. En 1726 Euler finalizó su Doctorado sobre la disertación sobre la propagación del sonido bajo el título De Sono^[5] y en 1727 participó en el concurso promovido por la Academia de las Ciencias Francesa por el cual se solicitaba a los concursantes que encontraran la mejor forma posible de ubicar el mástil en un buque. Ganó el segundo puesto, detrás de Pierre Bouguer, que es conocido por ser el padre de la arquitectura naval. Más adelante Euler conseguiría ganar ese premio hasta en doce ocasiones.[6

Por aquella época, los dos hijos de Johann Bernoulli, Daniel y Nicolas, se encontraban trabajando en la Academia Imperial Rusa de las Ciencias en San Petersburgo. En julio de 1726, Nicolás murió de apendicitis tras haber vivido un año en Rusia y, cuando Daniel asumió el cargo de su hermano en la división de matemáticas y física, recomendó que el puesto que había dejado vacante en fisiología fuese ocupado por su amigo Euler. En noviembre de ese mismo año Euler aceptó la oferta, aunque retrasó su salida hacia San Petersburgo mientras que intentaba conseguir, sin éxito, un puesto de profesor de físicas en la Universidad de Basilea.^[7]

Euler llegó a la capital rusa el 17 de mayo de 1727. Fue ascendido desde su puesto en el departamento médico de la academia a un puesto en el departamento de matemáticas, en el que trabajó con Daniel Bernoulli, a menudo en estrecha colaboración. Euler aprendió el ruso y se estableció finalmente en San Petersburgo a vivir. Llegó incluso a tomar un trabajo adicional como médico de la Armada Rusa.^[8]

La Academia de San Petersburgo, creada por Pedro I el Grande, tenía el objetivo de mejorar el nivel educativo en Rusia y de reducir la diferencia científica existente entre ese país y Europa Occidental. Como resultado, se implementaron una serie de medidas para atraer a eruditos extranjeros como Euler. La academia poseía amplios recursos financieros y una biblioteca muy extensa, extraída directamente de las bibliotecas privadas de Pedro I y de la nobleza. La Academia admitía a un número muy reducido de estudiantes para facilitar la labor de enseñanza, a la vez que se enfatizaba la labor de investigación y se ofrecía a la facultad tanto el tiempo como la libertad para resolver cuestiones científicas.^[6]

Sin embargo, la principal benefactora de la Academia, la emperatriz Catalina I de Rusia, que había continuado con las políticas progresistas de su marido, murió el mismo día de la llegada de Euler a Rusia. Su muerte incrementó el poder de la nobleza, puesto que el nuevo emperador pasó a ser Pedro II de Rusia, por entonces un niño de tan sólo doce años de edad. La nobleza sospechaba de los científicos extranjeros de la Academia, por lo que cortó la cuantía de recursos dedicados a la misma y provocó otra serie de dificultades para Euler y sus colegas.

Las condiciones mejoraron ligeramente tras la muerte de Pedro II, y Euler fue poco a poco ascendiendo en la jerarquía de la Academia, convirtiéndose en profesor de físicas en 1731. Dos años más tarde, Daniel Bernoulli, harto de las dificultades que le planteaban la censura y la hostilidad a la que se enfrentaban en San Petersburgo, dejó la ciudad y volvió a Basilea. Euler le sucedió como director del departamento de matemáticas.^[9]

El 7 de enero de 1734 Euler contrajo matrimonio con Katharina Gsell, hija de un pintor de la Academia. La joven pareja compró una casa al lado del río Neva y llegó a concebir hasta trece hijos, si bien sólo cinco sobrevivieron hasta la edad adulta.[10

Preocupado por los acontecimientos políticos que estaban teniendo lugar en Rusia, Euler partió de San Petersburgo el 19 de junio de 1741 para aceptar un cargo en la Academia de Berlín, cargo que le había sido ofrecido por Federico II el Grande, rey de Prusia. Vivió veinticinco años en Berlín, en donde escribió más de 380 artículos. También publicó aquí dos de sus principales obras: la Introductio in analysin infinitorum, un texto sobre las funciones matemáticas publicado en 1748, y la Institutiones calculi differentialis,^[11] publicada en 1755 y que versaba sobre el cálculo diferencial.^[12]

Además, se le ofreció a Euler un puesto como tutor de la princesa de Anhalt-Dessau, la sobrina de Federico. Euler escribió más de 200 cartas dirigidas a la princesa que más tarde serían recopiladas en un volumen titulado Cartas de Euler sobre distintos Temas de Filosofía Natural dirigidas a una Princesa Alemana. Este trabajo recopilaba la exposición de Euler sobre varios temas de físicas y matemáticas, así como una visión de su personalidad y de sus creencias religiosas. El libro se convirtió en el más leído de todas sus obras, y fue publicado a lo largo y ancho del continente europeo y en los Estados Unidos. La popularidad que llegaron a alcanzar estas Cartas sirve de testimonio sobre la habilidad de Euler de comunicar cuestiones científicas a una audiencia menos cualificada.^[12]

Sin embargo, y a pesar de la inmensa contribución de Euler al prestigio de la Academia, fue finalmente obligado a dejar Berlín. El motivo de esto fue, en parte, un conflicto de personalidad entre el matemático y el propio Federico, que llegó a ver a Euler como una persona muy poco sofisticada, y especialmente en comparación con el círculo de filósofos que el rey alemán había logrado congregar en la Academia. Voltaire, en particular, era uno de esos filósofos, y gozaba de una posición preeminente en el círculo social del rey. Euler, como un simple hombre de carácter religioso y trabajador, era muy convencional en sus creencias y en sus gustos, representando en cierta forma lo contrario que Voltaire. Euler tenía conocimientos limitados de retórica, y solía debatir cuestiones sobre las que tenía pocos conocimientos, lo cual le hacía un objetivo frecuente de los ataques del filósofo.^[12] Por ejemplo, Euler protagonizó varias discusiones metafísicas con Voltaire, de las que solía retirarse enfurecido por su incapacidad en la retórica y la metafísica. Federico también mostró su descontento con las habilidades prácticas de ingeniería de Euler:

Quería tener una bomba de agua en mi jardín: Euler calculó la fuerza necesaria de las ruedas para elevar el agua a una reserva, desde la que caería después a través de canalizaciones para finalmente manar en Sanssouci. Mi molino fue construido de forma geométrica y no podía elevar una bocanada de agua hasta más allá de cinco pasos hacia la reserva. ¡Vanidad de las vanidades! ¡Vanidad de la geometría!
Federico II el Grande[13

La vista de Euler fue empeorando a lo largo de su vida. En el año 1735 Euler sufrió una fiebre casi fatal y, tres años después de dicho acontecimiento, quedó casi ciego de su ojo derecho. Euler, sin embargo, prefería acusar de este hecho al trabajo de cartografía que realizaba para la Academia de San Petersburgo.

La vista de ese ojo empeoró a lo largo de su estancia en Alemania, hasta el punto de que Federico hacía referencia a él como el Cíclope. Euler más tarde sufrió cataratas en su ojo sano, el izquierdo, lo que le dejó prácticamente ciego pocas semanas después de su diagnóstico. A pesar de ello, parece que sus problemas de visión no afectaron a su productividad intelectual, dado que lo compensó con su gran capacidad de cálculo mental y su memoria fotográfica. Por ejemplo, Euler era capaz de repetir la Eneida de Virgilio desde el comienzo hasta el final y sin dudar en ningún momento, y en cada página de la edición era capaz de indicar qué línea era la primera y cuál era la última.^[2] También se sabía de memoria las fórmulas de trigonometría y las primeras 6 potencias de los primeros 100 números primos.^[15]

Pasó los últimos años de su vida ciego, pero siguió trabajando. Muchos trabajos se los dictó a su hijo mayor.

La situación en Rusia había mejorado enormemente tras el ascenso de Catalina la Grande, por lo que en 1766 Euler aceptó una invitación para volver a la Academia de San Petersburgo para pasar ahí el resto de su vida. Su segunda época en Rusia, sin embargo, estuvo marcada por la tragedia: un incendio en San Petersburgo en 1771 le costó su casa y casi su vida y en 1773 perdió a su esposa, que por entonces tenía 40 años de edad. Euler se volvió a casar tres años más tarde.

El 18 de septiembre de 1783 Euler falleció en la ciudad de San Petersburgo tras sufrir un ictus, y fue enterrado junto con su esposa en el Cementerio Luterano ubicado en la isla de Vasilievsky. Hoy en día el cementerio en el que fue enterrado Euler no existe, dado que fue destruido por los soviéticos. Éstos trasladaron previamente sus restos al monasterio ortodoxo de Alejandro Nevski.

El matemático y filósofo francés Nicolas de Condorcet escribió su elogio funeral para la Academia francesa.

…il cessa de calculer et de vivre — … dejó de calcular y de vivir.^[16]

Por su parte, Nikolaus von Fuss, ahijado de Euler y secretario de la Academia Imperial de San Petersburgo, escribió un relato de su vida junto con un listado de sus obras.

Contribución a las matemáticas y a otras áreas científicas

Euler trabajó prácticamente en todas las áreas de las matemáticas: geometría, cálculo, trigonometría, álgebra, teoría de números, además de física continua, teoría lunar y otras áreas de la física. Ha sido uno de los matemáticos más prolíficos de la historia. Su actividad de publicación fue incesante (un promedio de 800 páginas de artículos al año en su época de mayor producción, entre 1727 y 1783), y una buena parte de su obra completa está sin publicar. La labor de recopilación y publicación completa de sus trabajos, llamados Opera Omnia,^[17] comenzó en 1911 y hasta la fecha ha llegado a publicar 76 volúmenes. El proyecto inicial planeaba el trabajo sobre 887 títulos en 72 volúmenes. Se le considera el ser humano con mayor número de trabajos y artículos en cualquier campo del saber, sólo equiparable a Gauss. Si se imprimiesen todos sus trabajos, muchos de los cuales son de una importancia fundamental, ocuparían entre 60 y 80 volúmenes.^[2] Además, y según el matemático Hanspeter Kraft, presidente de la Comisión Euler de la Universidad de Basilea, no se ha estudiado más de un 10% de sus escritos.^[18] Por todo ello, el nombre de Euler está asociado a un gran número de cuestiones matemáticas.

Notación matemática

Euler introdujo y popularizó varias convenciones referentes a la notación en los escritos matemáticos en sus numerosos y muy utilizados libros de texto. Posiblemente lo más notable fue la introducción del concepto de función matemática,^[1] siendo el primero en escribir f(x) para hacer referencia a la función f aplicada sobre el argumento x. Esta nueva forma de notación ofrecía más comodidad frente a los rudimentarios métodos del cálculo infinitesimal existentes hasta la fecha, iniciados por Newton y Leibniz, pero desarrollados basándose en las matemáticas del último.

También introdujo la notación moderna de las funciones trigonométricas, la letra e como base del logaritmo natural o neperiano (el número e es conocido también como el número de Euler), la letra griega Σ como símbolo de los sumatorios y la letra i para hacer referencia a la unidad imaginaria.^[19] El uso de la letra griega π para hacer referencia al cociente entre la longitud de la circunferencia y la longitud de su diámetro también fue popularizado por Euler, aunque él no fue el primero en usar ese símbolo.^[20]

Análisis

El desarrollo del cálculo era una de las cuestiones principales de la investigación matemática del siglo XVIII, y la familia Bernoulli había sido responsable de gran parte del progreso realizado hasta entonces. Gracias a su influencia, el estudio del cálculo se convirtió en uno de los principales objetos del trabajo de Euler. Si bien algunas de sus demostraciones matemáticas no son aceptables bajo los estándares modernos de rigor matemático,^[21] es cierto que sus ideas supusieron grandes avances en ese campo.

Euler definió la constante matemática conocida como número e como aquel número real tal que el valor de su derivada (la pendiente de su línea tangente) en la función f(x) = e^x en el punto x = 0 es exactamente 1. La función e^x es también llamada función exponencial y su función inversa es el logaritmo natural, también llamado logaritmo neperiano o logaritmo en base e.

El número e puede ser representado como un número real en varias formas: como una serie infinita, un producto infinito, una fracción continua o como el límite de una sucesión. La principal de estas representaciones, particularmente en los cursos básicos de cálculo, es como el límite:

y también como la serie:

Además, Euler es muy conocido por su análisis y su frecuente utilización de la serie de potencias, es decir, la expresión de funciones como una suma infinita de términos como la siguiente:

Uno de los famosos logros de Euler fue el descubrimiento de la expansión de series de potencias de la función arcotangente. Su atrevido aunque, según los estándares modernos, técnicamente incorrecto uso de las series de potencias le permitieron resolver el famoso problema de Basilea en 1735,^[21] por el cual quedaba demostrado que:

Euler introdujo el uso de la función exponencial y de los logaritmos en las demostraciones analíticas. Descubrió formas para expresar varias funciones logarítmicas utilizando series de potencias, y definió con éxito logaritmos para números negativos y complejos, expandiendo enormemente el ámbito de la aplicación matemática de los logaritmos.^[19] También definió la función exponencial para números complejos, y descubrió su relación con las funciones trigonométricas. Para cualquier número real φ, la fórmula de Euler establece que la función exponencial compleja puede establecerse mediante la siguiente fórmula:

Siendo un caso especial de la fórmula lo que se conoce como la identidad de Euler:

Esta fórmula fue calificada por Richard Feynman como «la fórmula más reseñable en matemáticas», porque relaciona las principales operaciones algebraicas con las importantes constantes 0, 1, e, i y π.^[22] En 1988, los lectores de la revista especializada Mathematical Intelligencer votaron la fórmula como «la más bella fórmula matemática de la historia».^[23] En total, Euler fue el responsable del descubrimiento de tres de las cinco primeras fórmulas del resultado de la encuesta.^[23]

Además de eso, Euler elaboró la teoría de las funciones trascendentales (aquellas que no se basan en operaciones algebraicas) mediante la introducción de la función gamma, e introdujo un nuevo método para resolver ecuaciones de cuarto grado. También descubrió una forma para calcular integrales con límites complejos, en lo que sería en adelante del moderno análisis complejo, e inventó el cálculo de variaciones incluyendo dentro de su estudio a las que serían llamadas las ecuaciones de Euler-Lagrange.

Euler también fue pionero en el uso de métodos analíticos para resolver problemas teóricos de carácter numérico. Con ello, Euler unió dos ramas separadas de las matemáticas para crear un nuevo campo de estudio, la teoría numérico-analítica. Para ello, Euler creó la teoría de las series hipergeométricas, las series q, las funciones hiperbólicas trigonométricas y la teoría analítica de fracciones continuas. Por ejemplo, demostró que la cantidad de números primos es infinita utilizando la divergencia de series armónicas, y utilizó métodos analíticos para conseguir una mayor información sobre cómo los números primos se distribuyen dentro de la sucesión de números naturales. El trabajo de Euler en esta área llevaría al desarrollo del teorema de los números primos.^[24]

Teoría de números

El interés de Euler en la teoría de números procede de la influencia de Christian Goldbach, amigo suyo durante su estancia en la Academia de San Petersburgo. Gran parte de los primeros trabajos de Euler en teoría de números se basan en los trabajos de Pierre de Fermat. Euler desarrolló algunas de las ideas de este matemático francés pero descartó también algunas de sus conjeturas.

Euler unió la naturaleza de la distribución de los números primos con sus ideas del análisis matemático. Demostró la divergencia de la suma de los inversos de los números primos y, al hacerlo, descubrió la conexión entre la función zeta de Riemann y los números primos. Esto se conoce como el producto de Euler para la función zeta de Riemann.

Euler también demostró las identidades de Newton, el pequeño teorema de Fermat, el teorema de Fermat sobre la suma de dos cuadrados e hizo importantes contribuciones al teorema de los cuatro cuadrados de Joseph-Louis de Lagrange. También definió la función φ de Euler que, para todo número entero positivo, cuantifica el número de enteros positivos menores o iguales a n y coprimos con n. Más tarde, utilizando las propiedades de esta función, generalizó el pequeño teorema de Fermat a lo que se conoce como el teorema de Euler.

Contribuyó de manera significativa al entendimiento de los números perfectos, tema que fascinó a los matemáticos desde los tiempos de Euclides, y avanzó en la investigación de lo que más tarde se concretaría en el teorema de los números primos. Los dos conceptos se consideran teoremas fundamentales de la teoría de números, y sus ideas pavimentaron el camino del matemático Carl Friedrich Gauss.^[25]

En el año 1772, Euler demostró que 2³¹ - 1 = 2.147.483.647 es un número primo de Mersenne. Esta cifra permaneció como el número primo más grande conocido hasta el año 1867.^[26]

Teoría de grafos y geometría

Artículo principal: Problema de los puentes de Königsberg

En 1736, Euler resolvió el problema conocido como problema de los puentes de Königsberg.^[27] La ciudad de Königsberg, en Prusia Oriental (actualmente Kaliningrado, en Rusia), estaba localizada en el río Pregel, e incluía dos grandes islas que estaban conectadas entre ellas y con las dos riberas del río mediante siete puentes. El problema consistía en decidir si era posible seguir un camino que cruzase todos los puentes una sola vez y que finalizase llegando al punto de partida. No lo hay, y Euler logró probarlo matemáticamente demostrando que no existía un ciclo euleriano debido a que el número de puentes en más de dos bloques era impar.

A esta solución se la considera el primer teorema de teoría de grafos y de grafos planares.^[27] Euler también introdujo el concepto conocido como característica de Euler del espacio, y una fórmula que relacionaba el número de lados, vértices y caras de un polígono convexo con esta constante. El teorema de poliedros de Euler, que básicamente consiste en buscar una relación entre número de caras, aristas y vértices en los poliedros. Utilizó esta idea para demostrar que no existían más poliedros regulares que los sólidos platónicos conocidos hasta entonces. El estudio y la generalización de esta fórmula, especialmente por Cauchy^[28] y L'Huillier,^[29] supuso el origen de la topología.^{[30] [31]}

Dentro del campo de la geometría analítica descubrió además que tres de los puntos notables de un triángulo —baricentro, ortocentro y circuncentro— podían obedecer a una misma ecuación, es decir, a una misma recta. A la recta que contiene el baricentro, ortocentro y circuncentro se le denomina «Recta de Euler» en su honor.

Matemáticas aplicadas

Algunos de los mayores éxitos de Euler fueron en la resolución de problemas del mundo real a través del análisis matemático, en lo que se conoce como matemática aplicada, y en la descripción de numerosas aplicaciones de los números de Bernoulli, las series de Fourier, los diagramas de Venn, el número de Euler, las constantes e y π, las fracciones continuas y las integrales. Integró el cálculo diferencial de Leibniz con el Método de Fluxión de Newton, y desarrolló herramientas que hacían más fácil la aplicación del cálculo a los problemas físicos. Euler ya empleaba las series de Fourier antes de que el mismo Fourier las descubriera y las ecuaciones de Lagrange del cálculo variacional, las ecuaciones de Euler-Lagrange.

Hizo grandes avances en la mejora de las aproximaciones numéricas para resolver integrales, inventando lo que se conoce como las aproximaciones de Euler. Las más notable de estas aproximaciones son el método de Euler para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias, y la fórmula de Euler-Maclaurin. Este método consiste en ir incrementando paso a paso la variable independiente y hallando la siguiente imagen con la derivada. También facilitó el uso de ecuaciones diferenciales, y en particular mediante la introducción de la constante de Euler-Mascheroni:

Por otro lado, uno de los intereses más llamativos de Euler fue la aplicación de las ideas matemáticas sobre la música. En 1739 escribió su obra Tentamen novae theoriae musicae, esperando con ello poder incorporar el uso de las matemáticas a la teoría musical. Esta parte de su trabajo, sin embargo, no atrajo demasiada atención del público, y llegó a ser descrita como demasiado matemática para los músicos y demasiado musical para los matemáticos.^[32]

Física y astronomía

Euler ayudó a desarrollar la ecuación de la Curva elástica, que se convirtió en el pilar de la ingeniería. Aparte de aplicar con éxito sus herramientas analíticas a los problemas de mecánica clásica, Euler también las aplicó sobre los problemas de los movimientos de los astros celestes. Su trabajo en astronomía fue reconocido mediante varios Premios de la Academia de Francia a lo largo de su carrera, y sus aportaciones en ese campo incluyen cuestiones como la determinación con gran exactitud de las órbitas de los cometas y de otros cuerpos celestes, incrementando el entendimiento de la naturaleza de los primeros, o el cálculo del paralaje solar. Sus cálculos también contribuyeron al desarrollo de tablas de longitud más exactas para la navegación.^[33] También publicó trabajos sobre el movimiento de la luna.

Además, Euler llevó a cabo importantes contribuciones en el área de la óptica. No estaba de acuerdo con las teorías de Newton sobre la luz, desarrolladas en su obra Opticks, y que eran la teoría prevalente en aquel momento. Sus trabajos sobre óptica desarrollados en la década de 1740 ayudaron a que la nueva corriente que proponía una teoría de la luz en forma de onda, propuesta por Christiaan Huygens, se convirtiese en la teoría hegemónica. La nueva teoría mantendría ese estatus hasta el desarrollo de la teoría cuántica de la luz.^[34]

En el campo de la mecánica Euler, en su tratado de 1739, introdujo explícitamente los conceptos de partícula y de masa puntual y la notación vectorial para representar la velocidad y la aceleración, lo que sentaría las bases de todo el estudio de la mecánica hasta Lagrange. En el campo de la mecánica del sólido rígido definió los llamados «tres ángulos de Euler para describir la posición» y publicó el teorema principal del movimiento, según el cual siempre existe un eje de rotación instantáneo, y la solución del movimiento libre (consiguió despejar los ángulos en función del tiempo).

En hidrodinámica estudió el flujo de un fluido ideal incompresible, detallando las ecuaciones de Euler de la Hidrodinámica.

Adelantándose más de cien años a Maxwell previó el fenómeno de la presión de radiación, fundamental en la teoría unificada del electromagnetismo. En los cientos de trabajos de Euler se encuentran referencias a problemas y cuestiones tremendamente avanzadas para su tiempo, que no estaban al alcance de la ciencia de su época.

Lógica

En el campo de la lógica, se atribuye a Euler el uso de curvas cerradas para ilustrar el razonamiento silogístico (1768). Este tipo de representaciones reciben el nombre de diagramas de Euler.^[35]

Arquitectura e ingeniería

En este campo, Euler desarrolló la ley que lleva su nombre sobre el pandeo de soportes verticales y generó una nueva rama de ingeniería con sus trabajos sobre la carga crítica de las columnas.

Creencias religiosas y filosóficas

Euler y su amigo Daniel Bernoulli se oponían al monismo de Leibniz y a la corriente filosófica representada por Christian Wolff. Euler insistía en que el conocimiento se basa en parte en la existencia de leyes cuantitativas precisas, algo que el monismo y las teorías filosóficas de Wolff no eran capaces de proveer. Sus inclinaciones religiosas también pueden haber contribuido a que le desagradase ese tipo de doctrinas, hasta el punto de que llegó a catalogar las ideas de Wolff como «paganas y ateas».^[36]

Gran parte del conocimiento que tenemos de las creencias religiosas de Euler se deduce de su obra Cartas a una Princesa Alemana, así como de un trabajo anterior llamado Rettung der Göttlichen Offenbahrung Gegen die Einwürfe der Freygeister (en español, Defensa de la revelación Divina frente a las objeciones de los Librepensadores). Estos trabajos muestran a Euler como un cristiano convencido que defendía la interpretación literal de la Biblia (por ejemplo, su obra Rettung era principalmente una discusión en defensa de la inspiración divina de las escrituras).^[37]

Obra

Euler cuenta con una extensísima bibliografía, en esta sección se puede encontrar alguna referencia sobre algunas de sus obras más conocidas o importantes.

• Mechanica, sive motus scientia analytica exposita^[38] (1736)
• Tentamen novae theoriae musicae (1739)
• Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis (1741)
• Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes, sive solutio problematis isoperimetrici latissimo sensu accepti (1744).
• Introductio in Analysis Infinitorum (1748)
• Institutiones Calculi Differentialis (1765)
• Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum (1765)
• Institutiones Calculi Integralis (1768-1770)
• Vollständige Anleitung zur Algebra^[39] (1770)
• Lettres à une Princesse d'Allemagne (Cartas a una Princesa Alemana)^[40] (1768–1772).

En 1911, la Academia Suiza de las Ciencias comenzó la publicación de una colección definitiva de los trabajos de Euler titulada Opera Omnia.^[17] Existe un plan para la ampliación de la obra a la publicación de la correspondencia (en el año 2008 se han publicado ya tres volúmenes de correspondencia) y los manuscritos de Euler, aunque no se ha especificado ninguna fecha para su edición.^[41]

Véase también

Constante de Euler-Mascheroni Identidad de Euler Fórmula de Euler Función φ de Euler Número e

Problema de los puentes de Königsberg Recta de Euler Teorema de rotación de Euler Topología

LEONARDO DA VINCI

Leonardo di Ser Piero da Vinci (Anchiano, Italia, 15 de abril de 1452 – Castillo de Clos-Lucé Francia, 2 de mayo de 1519) fue un arquitecto, escultor, pintor, inventor, músico, ingeniero, el hombre del Renacimiento por excelencia. Está ampliamente considerado como uno de los más grandes pintores de todos los tiempos y quizá, la persona con más y más variados talentos de la historia.

Primeros años (1452-1470)

Leonardo Da Vinci nació el 15 de abril de 1452, en Anchiano, una aldea cerca de la ciudad de Vinci en el valle del Arno, dentro de los territorios de Florencia, aunque para otros nació en Vinci, de ahí su "apellido", antes de que se adoptaran las convenciones de nombres actualmente vigentes en Europa, por lo que a su nombre de pila se añadió el de su padre (Ser Piero) y la localidad de nacimiento siendo entonces "Leonardo di Ser Piero da Vinci". Sin embargo, Leonardo acostumbraba firmar sus trabajos como Leonardo o Io, Leonardo (yo Leonardo), es decir, sin emplear el nombre de su padre, lo que induce a pensar que era hijo ilegítimo. Su madre se llamaba Caterina, y el abuelo paterno, Antonio, escribió que: «Nació un nieto mío, hijo de ser Piero mi hijo el día 15 de abril en sábado [a las 22.30 horas] [...] Se llama Lionardo. Lo bautizó Piero di Bartolomeo da Vinci, en presencia de Papino di Nanni, Meo di Torino, Pier di Malvolto, Monna Lisa di Domenico di Brettone».^[2] En el catastro de Vinci, en las notas del año 1457, se refleja que el llamado Antonio tenía 85 años y vivía en el pueblo de Santa Croce, marido de Lucia, de 64 años, y tenía dos hijos Francesco y Piero, de 30 años, casado con Albiera, de 29, y con ellos vivía «Lionardo hijo del dicho ser Piero no legítimo nacido de él y de Chataria actualmente casada con Achattabriga di Piero del Vacca da Vinci, de 5 años».

Poco se sabe de sus primeros años, que han sido tema de conjeturas históricas por Vasari y otros.^[3] Leonardo más tarde sólo hablaría de dos incidentes de su infancia. Uno de ellos, que él consideraba como una profecía, fue que un halcón bajó del cielo y sobrevoló su cuna, con las plumas de la cola rozándole el rostro.^[4] Desde niño mostró aptitudes para las artes plásticas, principalmente el dibujo, así como la geometría, la mecánica y la música. Poseía una gran capacidad de observación lo que le valió no sólo a su obra artística sino también a otros temas que estudió como la física (principalmente la mecánica), la música o el naturalismo (ahora biología), un gran realismo y una naturalidad sobresaliente.

Parece ser que en el año 1466, Leonardo y su familia marcharon a vivir a Florencia. El abuelo Antonio murió en el año 1468 y en las actas catastrales de Vinci, Leonardo, que tenía 17 años, resulta ser su heredero, junto con la abuela Lucia, el padre Piero, la madrina Francesca, y los tíos Francesco y Alessandra. Al año siguiente la familia del padre, convertido en notario de la Señoría florentina, junto a la del hermano Francesco, que estaba inscrito en el Arte della seta, se domiciliaron en una casa florentina, derribada ya en el siglo XVI, en la actual via dei Gondi.

Sus primeros bocetos eran de tal calidad que tan pronto como su padre los mostró al pintor Andrea del Verrocchio, éste tomó al joven de catorce años como aprendiz en su taller, ya frecuentado por futuros artistas de la talla de Botticelli, Ghirlandaio, Perugino y Lorenzo di Credi. Así lo dice Vasari, referido al año 1462; no obstante, el ingreso de Leonardo en el taller de Verocchio fue posterior, encontrándosele como aprendiz en ese taller en 1469 ó 1470.

En un taller del Quattrocento como el de Verrocchio, los artistas eran considerados sobre todo como artesanos y sólo un maestro como Verrocchio tenía una posición social. Los productos de un taller incluían escudos de torneo decorados, cofres de dote pintadas (cassoni), fuentes de bautizo, placas votivas, pequeños retratos, y pinturas devocionales. Los mayores encargos eran los retablos para iglesias y estatuas conmemorativas. Los contratos más importantes eran los ciclos de frescos para capillas. Como un aprendiz de catorce años, Leonardo habría sido enseñado en todas las innumerables habilidades que se empleaban en un taller tradicional.

Aunque muchos artesanos se especializaban en tareas tales como la realización de marcos, el dorado o los baños de bronce, Leonardo habría estado expuesto a un amplio conjunto de habilidades técnicas y habría tenido la oportunidad de aprender a hacer proyectos, química, metalurgia, trabajo en metales, enyesado, trabajo en cuero, mecánica y carpintería, así como las habilidades artísticas evidentes del dibujo, la pintura, la escultura y el modelado.

Juventud (1471-1481)

En la Compañía de los pintores florentinos de San Jesus, Leonardo aparece mencionado por vez primera en el año 1462.

El 8 de abril de 1476 se presentó una denuncia anónima contra diversas personas, por sodomía consumada con el diecisieteañero Jacopo Saltarelli. Aunque había cierta tolerancia hacia la homosexualidad en la Florencia de la época, la pena prevista en estos casos era severísima, directamente morir quemado. Además de Leonardo, entre los otros acusados estaban Bartolomeo di Pasquino y sobre todo Leonardo Tornabuoni, joven vástago de la potentísima familia florentina de los Tornabuoni, emparentada con los Médicis. Según algunos estudiosos fue la implicación de este último lo que jugó a favor de los acusados. El 7 de junio, la denuncia se archivó y los imputados fueron todos absueltos.

Más tarde, Leonardo montó su propio taller como escritor independiente en Florencia. El 10 de enero de 1478 recibió el primer encargo público, un retablo para la capilla de San Bernardo en el Palacio de la Señoría; recibió 25 florines de adelanto, pero no inició el trabajo, confiado en 1483 a Domenico Ghirlandaio y luego a Filippino Lippi, que lo acabó en 1485.

Al menos desde el año 1479 ya no vivía con la familia del padre Piero, como resulta de un documento del catastro florentino.

En 1480, según el Anónimo Gaddiano, "estaba [...] con Lorenzo el Magnífico y, dándole provisiones, le hacía trabajar en el jardincillo sobre la plaza de San Marcos en Florencia": la adquisición del terreno por parte de Lorenzo fue aquel año y por lo tanto, Leonardo tuvo que ejecutar trabajos de escultura y restauración.

En marzo de 1481 le encargaron la Adoración de los Magos, que no acabó, por partir hacia Milán, quedando la tabla incompleta en casa de su amigo Amerigo Benci, el padre de Ginevra, en el año 1482.

En Milán (1482-1500)

Para la primavera y el verano de 1482 Leonardo se encontraba en Milán, una de las pocas ciudades en Europa que superaban los 100.000 habitantes, en el centro de una región populosa y rica. Decidió establecerse en Milán al darse cuenta de que los potentes señores tenían siempre necesidad de nuevas armas para la guerra interna, y consideraba que sus proyectos en la materia eran dignos de ser considerados por el ducado de Milán, aliado de los Médicis.

Leonardo, que según dice Vasari, era un músico de gran talento, creó una lira de plata en forma de cabeza de caballo, con la que Lorenzo de Médicis quedó tan impresionado que decidió enviarlos a los dos, la lira y su hacedor, a Milán, para asegurar la paz con Ludovico el Moro[1]. «Tenía treinta años» - escribe el Anónimo - «cuando el llamado Lorenzo el Magnífico le envió al duque de Milán a presentarse él mismo con Atalante Migliorati una lira, pues era único en el arte de tocar tal instrumento». Es en Milán donde Leonardo escribió la llamada carta de recomendación a Ludovico el Moro (en realidad, sintiéndose inseguro sobre su modo de expresarse, la hizo escribir por un llamado "hombre cultivado"), conservada en su Códice Atlántico, describiendo ante todo sus proyectos de aparatos militares, de obras hidráulicas, de arquitectura, y sólo al final, de pintura y escultura. El duque se maravilló de todos los conocimientos que dominaba Leonardo: pintura, dibujo, mecánica, ingeniería militar y ciencias naturales. Podía hacer esculturas en mármol, bronce o terracota. También pequeños cañones (bombardas), trazar caminos y construir portones.

El 25 de abril de 1483, con los hermanos pintores Evangelista y Giovanni Ambrogio De Predis, por un lado, y Bartolomeo Scorione, prior de la Confraternidad milanesa de la Inmaculada Concepción, por otro, estipuló el contrato para un retablo a colocar sobre el altar de la capilla de la Confraternidad en la iglesia de San Francesco Grande; es el primer documento relativo a La Virgen de las Rocas, que atestigua su presencia en Milán, huésped de los hermanos De Predis en Porta Ticinese. La elaboración de este cuadro llevó bastante tiempo, implicó un litigio y acabó habiendo dos versiones de la obra.

Mientras tanto, en 1485 Ludovico el Moro le había encargado un cuadro para enviarlo como regalo al rey de Hungría Matías Corvino. En 1487 le pagaron los proyectos para el cimborrio de la catedral de Milán.

En los primeros meses del año 1489 se ocupó de las decoraciones, en el Castillo Sforzesco, para las bodas de Gian Galeazzo Sforza e Isabel de Aragón, interrumpidas de repente por la muerte de la madre de la esposa, Hipólita de Aragón, y escribe su Libro titulado de figura humana. Este mismo año debieron empezar los preparativos para una estatua ecuestre de Francesco Sforza, antepasado de Ludovico el Moro, pues el 22 de julio Pietro Alamanni comunicó a Lorenzo el Magnífico la demanda de Leonardo de obtener la colaboración de fundidores de bronce florentinos.

El 13 de enero de 1490 se reanudaron las fiestas por las bodas Sforza - Aragón, en las cuales, escribe el poeta Bernardo Bellincioni en 1493, «se había fabricado, con el gran arte e ingenio del Maestro Leonardo da Vinci florentino, el "Paraíso" con todos los siete planetas que giraban y los planetas estaban representados por hombres»; el 21 de junio marchó a Pavia junto con Francesco di Giorgio Martini. Es la época en que ejecuta una serie de pinturas de caballete como el Retrato de dama, llamado La Belle Ferronnière del Louvre.

En 1491 tomó a su servicio a Gian Giacomo Caprotti da Oreno, de diez años, llamado Salaí –diablo, un mote tomado del Morgante de Pulci - a quien Leonardo definió un año más tarde como "ladrón, embustero, obstinado, glotón", pero al que tratará siempre con indulgencia.

Se encargó, en 1492, de los festejos para las bodas de Ludovico el Moro y Beatriz de Este y para las de Ana Sforza y Alfonso I de Este.

En 1493, estando en el séquito del cortejo que acompañaba a Alemania a Bianca Maria Sforza, esposa del emperador Maximiliano I de Habsburgo, vio el lago de Como, visitó la Valsassina, la Valtellina y el Valchiavenna. El 13 de julio parece haber recibido la visita de su madre, Caterina.

En 1494 ejecutó trabajos de mejora en una finca de los duques cerca de Vigevano.

Inició en 1495 la Última Cena, en el refectorio de Santa Maria delle Grazie y las decoraciones de las estancias en el Castillo Sforzesco que interrumpió en 1496. En este año, la detallada lista de gastos para una sepultura y funeral sugiere la muerte de su madre Caterina.

En su novella LVIII, Matteo Bandello, que conoció bien a Leonardo, escribe que lo vio a menudo

«la mañana temprano subir al andamio, porque la Última Cena estaba un poco en alto; solía desde que salía el Sol hasta la tarde oscurecida no quitarse nunca el pincel de la mano, olvidándose de comer y de beber, pintando continuamente. Después sabía estarse dos, tres o cuatro días, que no pintaba, y aún así se demoraba allí una o dos horas cada día y solamente contemplaba, consideraba y examinando para sí, sus figuras juzgaba. También lo ví (según que el capricho o antojo le tocase) marcharse a mediodía, cuando el Sol está en lo alto, a la corte vieja» - sobre el lugar del actual Palazzo Reale - «donde aquel asombroso Cavallo compuesto de tierra, y venirse derecho a le Grazie: y subiéndose al andamio tomar el pincel, y dar una o dos pinceladas a una de aquellas figuras, y luego de repente irse y andar a otro lugar».

En 1497 el duque de Milán solicitó al artista que concluyera la Última Cena, que terminó, probablemente, a finales de año.

En 1498 terminó al decoración de la Sala delle Asse del Castillo Sforzesco. Del 2 de octubre de ese año es el acta notarial en la que Ludovico el Moro le donó una viña cerca del monasterio de Santa María delle Grazie y San Vittore.

En marzo de 1499 consta que estaba en Génova junto a Ludovico, sobre el cual se ceñía la tempestad de la guerra que él mismo había contribuido a provocar; mientras Ludovico estaba en Innsbruck, buscando en vano hacerse aliado del emperador Maximiliano, Luis XII conquistó Milán el 6 de octubre de 1499. Leonardo se encontró una mañana con que los arqueros franceses estaban usando su modelo de arcilla a escala real del caballo de la estatua ecuestre de Francisco Sforza como blanco de práctica para el tiro. El 14 de diciembre Leonardo hizo depositar 600 florines en el Hospital de Santa María Nuova de Florencia, que actuaba como banca y abandonó Milán con su asistente Salaino y el matemático Luca Pacioli.

En Milán, Leonardo había pasado el periodo más largo de su vida, casi 20 años, y volvió luego por periodos más cortos en años sucesivos. Durante los años milaneses Leonardo mantuvo su propio taller, en el que trabajaron varios aprendices. Muchos de los más prominentes alumnos o seguidores de la pintura de Leonardo lo conocieron en Milán o incluso trabajaron con él, entre los que puede citarse a Bernardino Luini, Giovanni Antonio Boltraffio y Marco d'Oggiono.^[5] Si bien al principio de su estancia debió tener algunas dificultades con la lengua hablada por el pueblo (en aquellos tiempos la lengua italiana como "toscano medio" no existía, todos hablaban sólo el dialecto propio), los expertos encuentran en sus escritos del final de esta época "lombardismos".

Leonardo permaneció primero en Vaprio d'Adda, cerca de Bérgamo, en la villa del conde Giovan Francesco Melzi.

Luego pasó por Mantua, siendo huésped de Isabel de Este, a la que hizo dos retratos a carboncillo. Llegó a Venecia en marzo de 1500. Allí fue empleado como un arquitecto militar e ingeniero, ideando métodos de defender la ciudad de un ataque naval, previsiblemente de los turcos. Decidió después regresar a Florencia.

Regreso a Florencia (1501-1508)

Leonardo volvió a Florencia a finales de abril del 1500.

Fue a Roma en marzo de 1501. En abril de ese año estaba de nuevo en Florencia, como huésped de los Servitas en la Santísima Anunciada; aquí dibujó el primer cartón de Santa Ana, la Virgen, el Niño y san Juanito, hoy en Londres; en dos cartas, Isabel de Este pide al carmelita Pietro di Nuvolaria un retrato de Leonardo o, subsidiariamente, "un cuadrito de la Virgen devoto y dulce como es su natural", pero el fraile le responde que "sus experimentos matemáticos le han distraído tanto de la pintura que no puede soportar el pincel".

Entró al servicio de César Borgia, hijo del papa Alejandro VI, en el año 1502, como arquitecto e ingeniero, siguiéndolo en las guerras de éste en Romaña; en agosto estuvo en Pavía, e inspeccionó las fortalezas lombardas de César. En Forlì conoció a Caterina Sforza, a la que algunos consideran que pudo ser el modelo de la Gioconda. También pasó por Cesenático.

Desde marzo de 1503 Leonardo se encuentra nuevamente en Florencia, donde, según Vasari, ejecuta La Gioconda y una Leda hoy perdida. En abril recibió el encargo del fresco de La batalla de Anghiari en el Salón de los Quinientos del Palazzo Vecchio; este mural público se ejecutaría junto con Miguel Ángel, que fue el elegido para ornar la pared opuesta.

En julio fue a Pisa, asediada por los florentinos, junto a Gerolamo da Filicaja y Alessandro degli Albizi para estudiar la posibilidad de desviar el río Arno y empantanar algunas zonas limítrofes con la ciudad y así lograr la capitulación.

En 1497 el duque de Milán solicitó al artista que concluyera la Última Cena, que terminó, probablemente, a finales de año.

En 1498 terminó al decoración de la Sala delle Asse del Castillo Sforzesco. Del 2 de octubre de ese año es el acta notarial en la que Ludovico el Moro le donó una viña cerca del monasterio de Santa María delle Grazie y San Vittore.

En marzo de 1499 consta que estaba en Génova junto a Ludovico, sobre el cual se ceñía la tempestad de la guerra que él mismo había contribuido a provocar; mientras Ludovico estaba en Innsbruck, buscando en vano hacerse aliado del emperador Maximiliano, Luis XII conquistó Milán el 6 de octubre de 1499. Leonardo se encontró una mañana con que los arqueros franceses estaban usando su modelo de arcilla a escala real del caballo de la estatua ecuestre de Francisco Sforza como blanco de práctica para el tiro. El 14 de diciembre Leonardo hizo depositar 600 florines en el Hospital de Santa María Nuova de Florencia, que actuaba como banca y abandonó Milán con su asistente Salaino y el matemático Luca Pacioli.

En Milán, Leonardo había pasado el periodo más largo de su vida, casi 20 años, y volvió luego por periodos más cortos en años sucesivos. Durante los años milaneses Leonardo mantuvo su propio taller, en el que trabajaron varios aprendices. Muchos de los más prominentes alumnos o seguidores de la pintura de Leonardo lo conocieron en Milán o incluso trabajaron con él, entre los que puede citarse a Bernardino Luini, Giovanni Antonio Boltraffio y Marco d'Oggiono.^[5]

Si bien al principio de su estancia debió tener algunas dificultades con la lengua hablada por el pueblo (en aquellos tiempos la lengua italiana como "toscano medio" no existía, todos hablaban sólo el dialecto propio), los expertos encuentran en sus escritos del final de esta época "lombardismos".

Leonardo permaneció primero en Vaprio d'Adda, cerca de Bérgamo, en la villa del conde Giovan Francesco Melzi.

Luego pasó por Mantua, siendo huésped de Isabel de Este, a la que hizo dos retratos a carboncillo. Llegó a Venecia en marzo de 1500. Allí fue empleado como un arquitecto militar e ingeniero, ideando métodos de defender la ciudad de un ataque naval, previsiblemente de los turcos. Decidió después regresar a Florencia.

Regreso a Florencia (1501-1508)

Leonardo volvió a Florencia a finales de abril del 1500.

Fue a Roma en marzo de 1501. En abril de ese año estaba de nuevo en Florencia, como huésped de los Servitas en la Santísima Anunciada; aquí dibujó el primer cartón de Santa Ana, la Virgen, el Niño y san Juanito, hoy en Londres; en dos cartas, Isabel de Este pide al carmelita Pietro di Nuvolaria un retrato de Leonardo o, subsidiariamente, "un cuadrito de la Virgen devoto y dulce como es su natural", pero el fraile le responde que "sus experimentos matemáticos le han distraído tanto de la pintura que no puede soportar el pincel".

Entró al servicio de César Borgia, hijo del papa Alejandro VI, en el año 1502, como arquitecto e ingeniero, siguiéndolo en las guerras de éste en Romaña; en agosto estuvo en Pavía, e inspeccionó las fortalezas lombardas de César. En Forlì conoció a Caterina Sforza, a la que algunos consideran que pudo ser el modelo de la Gioconda. También pasó por Cesenático.

Desde marzo de 1503 Leonardo se encuentra nuevamente en Florencia, donde, según Vasari, ejecuta La Gioconda y una Leda hoy perdida. En abril recibió el encargo del fresco de La batalla de Anghiari en el Salón de los Quinientos del Palazzo Vecchio; este mural público se ejecutaría junto con Miguel Ángel, que fue el elegido para ornar la pared opuesta.

En julio fue a Pisa, asediada por los florentinos, junto a Gerolamo da Filicaja y Alessandro degli Albizi para estudiar la posibilidad de desviar el río Arno y empantanar algunas zonas limítrofes con la ciudad y así lograr la capitulación.

El 9 de julio de 1504 murió su padre, Piero; Leonardo anotó varias veces este hecho, en aparente agitación: "Miércoles a la hora 7 murió Ser Piero da Vinci, el día 9 de julio de 1504, miércoles cerca de la hora 7" y más allá, "El día 9 de julio de 1504 el miércoles a la hora 7 murió Piero da Vinci notario en el Palacio del Podestà, mi padre, a la hora 7. Tenía 80 años de edad. Dejó 10 hijos masculinos y 2 femeninos". El padre no lo nombró heredero y, contra los hermanos que le oponían la ilegitimidad de su nacimiento, Leonardo busca en vano el reconocimiento de sus razones: después de la causa judicial por él promovida, sólo el 30 de abril de 1506 se liquida la herencia de Piero da Vinci, de la cual fue excluido Leonardo.

Formó parte de la comisión que debía decidir la colocación del David (1505). Se cree que la presencia de Leonardo fue de importancia capital para el cambio de sitio de la escultura, aunque Miguel Ángel estaba disgustado por ello. La batalla de Anghiari le ocupó todo un año, recibiendo pagos de la República de Florencia por la obra hasta febrero de 1505.

En 1506 dejó Florencia y marchó nuevamente a Milán, comprometiéndose volver al cabo de tres meses, lo que no hizo, prolongándose su estancia en Lombardía más de lo previsto. Milán estaba entonces en manos de Maximiliano Sforza después de que mercenarios suizos expulsasen a los franceses. Tuvo dos estancias en Milán: de junio a octubre de 1506 y de enero a septiembre de 1507.

En este año de 1506 entró a formar parte de la casa de Leonardo Francesco Melzi, joven de quince años, hijo de un aristócrata de Lombardía y que poseía una gran apostura. Después de tempestuosas escenas de celos, Salai aceptó un nuevo arreglo en su relación con Leonardo, y los tres llevan a cabo varias giras a través de Italia. Aunque Salai fue siempre presentado como su discípulo, jamás produjo la más mínima obra. Melzi, en cambio, se convirtió en su discípulo y compañero de toda la vida. Viajó a Francia con Leonardo y estuvo con él hasta su muerte.

En 1508 está en Florencia, pero después regresa a Milán, ocupándose entre otros proyectos de una estatua ecuestre en honor de Gian Giacomo Trivulzio - en septiembre de 1508 habitando en la zona de la iglesia de San Babila; obtiene durante casi un año una provisión de 390 sueldos y 200 francos del rey de Francia.

Últimos años (1509-1519)

En el año 1509 hace estudios geológicos de los valles lombardos.

El 28 de abril de 1509 escribe haber resuelto el problema de la cuadratura del ángulo curvilíneo y al año siguiente estudió anatomía con Marcantonio della Torre en la universidad de Pavía.

Partió de Milán con dirección a Roma el 24 de septiembre de 1513, junto con sus alumnos Melzi, Salai, un tal Lorenzo y el Fanfoja. Se alojó en el Vaticano, en un estudio del Belvedere, bajo la protección de Juliano II de Médicis, hermano del papa León X. En la Ciudad Eterna trabajaban en aquella época pintores como Rafael, que estaba pintando al fresco los apartamentos papales, o Miguel Ángel, del cual estaba separado por una antigua enemistad; arquitectos como Bramante y Giuliano da Sangallo se ocupaban de la construcción de San Pedro. Pero Leonardo no tuvo mucho contacto con estos artistas, pues se dedicó a estudios matemáticos y científicos (mecánica, óptica). También buscó fósiles en el cercano Monte Mario, pero se lamentó con Giuliano que le impidiesen estudiar anatomía en el Hospital del Santo Espíritu. Se ocupó del proyecto de desecación de las Lagunas Pontinas - y fue aprobado por el papa León X el 14 de diciembre de 1514, pero no fue ejecutado por la muerte tanto de Giuliano como la del papa. También se ocupó de la sistematización del puerto de Civitavecchia.

En 1515 Francisco I de Francia volvió a tomar Milán. Leonardo recibió el encargo de hacer un centro de mesa, un león mecánico, para las conversaciones de paz entre el rey francés y el papa León X en Bolonia, donde probablemente conoció al rey.

En Roma comenzó a trabajar en un viejo proyecto de espejos que campasen los rayos de sol para calentar una cisterna de agua. Tuvo, no obstante, dificultades con los trabajadores alemanes, especialistas en espejos. Se cree que fueron ellos quienes estaban detrás de una carta anónima en la que se le acusaba de brujería. En ausencia de la protección de Giuliano de Médicis y teniendo en frente una situación preocupante, Leonardo se vio constreñido, una vez más, a marcharse. Esta vez había decidido abandonar Italia. Era anciano, necesitaba tranquilidad y alguien que lo apreciase y ayudara.

La última noticia de su periodo romano data de agosto de 1516, cuando medía las dimensiones de la Basílica de san Pablo.

En 1517 Francisco I lo invitó a su país, donde en mayo, junto a Melzi y el sirviente Battista de Vilania, se alojó en el castillo de Clos-Lucé, cerca de Amboise, honrado con el título de premier peintre, architecte, et mecanicien du roi y de una pensión de 5.000 escudos. La alta consideración de que gozaba queda demostrada incluso por la visita que recibió, el 10 de octubre de ese año, del cardenal de Aragón, Antonio de Beatis, y de su séquito; Leonardo le mostró una serie de pinturas que causaron su admiración y que han sido identificadas como la Gioconda, San Juan Bautista y La Virgen, Santa Ana y el Niño.

Proyectó el palacio real de Romorantin, que Francisco I pretendía erigir para su madre Luisa de Saboya: sería una pequeña ciudad, para la cual previó el desvío de un río que la enriqueciera con agua y fertilizase la campiña vecina. En 1518 participó en las celebraciones del bautizo del Delfín y de las bodas de Lorenzo de Médicis con una sobrina del rey francés. Ese mismo año Salai abandonó a Leonardo y retornó a Milán, donde más adelante (el 19 de enero de 1524) perecería en un duelo.

Leonardo falleció el 2 de mayo de 1519, en la mansión o castillo de Clos Lucé (Francia). Francisco I se había convertido en un amigo muy cercano. Vasari recoge que el rey sostuvo la cabeza de Leonardo en sus brazos al tiempo que moría, aunque esta historia, amada por los franceses y representada por Ingres en una pintura romántica, parece más una leyenda que realidad. Vasari también dice que en sus últimos días, Leonardo pidió que un sacerdote recibiera su confesión y le diera la extremaunción.

De acuerdo a sus deseos, 60 mendigos siguieron su ataúd. Fue enterrado en la capilla de Saint-Hubert en el Castillo de Amboise. Cincuenta años más tarde, violada su tumba, sus despojos se dispersaron en los desórdenes de las luchas religiosas entre católicos y hugonotes.

El 23 de abril Leonardo había redactado su testamento ante el notario Guillermo Boreau. Melzi fue su principal heredero y albacea, pero Salai no fue olvidado: recibió la Gioconda y la mitad del viñedo de Leonardo, correspondiéndole la otra mitad al sirviente De Vilanis. A su criada Maturina diez paños y dos ducados; a sus medio hermanos, 400 escudos depositados en Florencia y un poder en Fiesole.

Vida personal

Leonardo tuvo muchos amigos que fueron figuras destacadas en sus campos respectivos, o por su influencia en la historia. Entre ellos hay que incluir al matemático Luca Pacioli con quien colaboró en un libro en los años 1490 y César Borgia, a cuyo servicio estuvo los años 1502 y 1503. Durante esa época conoció también a Nicolás Maquiavelo, con quien más adelante desarrollaría una gran amistad. Entre sus amigos estuvieron Franchinus Gaffurius e Isabel de Este. Isabel fue probablemente su amiga femenina más cercana.

Más allá de la amistad, Leonardo fue reservado respecto a su vida privada. Afirmaba también tener una falta de interés en las relaciones físicas involucradas en la procreación humana:

"el acto de la procreación y todo lo que está relacionado con ella es tan desagradable que los seres humanos se extinguirían pronto si no existieran los rostros hermosos y las disposiciones sensuales".^[6]

Parece que no tuvo relaciones íntimas con las mujeres más allá de su amistad con Isabel de Este. Sus relaciones más cercanas fueron sus discípulos Salai y Melzi, habiendo escrito Melzi que los sentimientos de Leonardo hacia él eran amorosos y apasionados. Desde el siglo XVI se ha interpretado que estas relaciones eran de naturaleza homoerótica y desde esa fecha se ha escrito mucho sobre este aspecto (su posible homosexualidad) de la vida de Leonardo.^[7] Cabe señalar que la experiencia traumática sufrida en su juventud -el haber sido encarcelado durante dos meses acusado de sodomía- pudo haberlo llevardo a ser muy cauteloso con cualquier expresión sincera o indiscreta de su sexualidad.

A lo largo de su vida, Leonardo se mantuvo como vegetariano por razones éticas referentes, al parecer, al respeto a la vida de los animales. El florentino Andila Corsali, que había viajado a la India, dijo

«Los habitantes de este país, como nuestro Leonardo, no permiten que se haga daño a ninguna criatura viviente»

La admiración hacia Leonardo como científico e inventor es reciente, puesto que a lo largo de cuatrocientos años su enorme fama se debió a sus logros como pintor y a unas pocas obras, que o bien se había autenticado que eran obra suya, o bien se le atribuyeron, pero que en cualquier caso han sido consideradas obras maestras de la pintura.

De sus obras, quizás sobreviven 15 pinturas,^[9] junto con sus diarios, que contienen dibujos, diagramas científicos, y notas. Planeó frecuentemente pinturas grandiosas con muchos dibujos y esbozos, dejando los proyectos inacabados.

Sus pinturas son famosas por una serie de cualidades que han sido muy imitadas por estudiantes y discutidas ampliamente por los aficionados y los críticos: sus técnicas innovadoras, su detallado conocimiento de anatomía, luz, botánica y geología, su interés en fisionomía y la forma en que los humanos registran emoción. Su gran aportación es el esfumado, artificio pictórico que consiste en prescindir de los contornos netos y precisos del "Quattrocento" y envolverlo todo en una especie de niebla imprecisa que difumina los perfiles y produce una impresión de inmersión total en la atmósfera.^[10] Prestando atención, se puede percibir en varios cuadros un efecto característico de la pintura de Leonardo: la delicada transición de la luz a la sombra, cuando un tono más claro se funde con otro más oscuro, como bellos acordes musicales. Leonardo usa la llamada "perspectiva aérea", esto es, representar la sensación de profundidad haciendo menos nítidos los planos del fondo porque las partículas en suspensión que hay en la atmósfera hace que se vean con más nitidez los objetos del primer plano y de una manera más difuminada lo que queda al fondo. Todas estas características están presentes en sus obras más famosas: La Gioconda (Mona Lisa), (actualmente en el museo del Louvre de París), La última cena y La Virgen de las Rocas.

Primeras obras

Las primeras obras de Leonardo comienzan con el ángel que aparece en primer plano, a la derecha, así como el paisaje, del Bautismo de Jesús (Uffizi). La obra que se atribuye en su conjunto a Botticini, a Verrocchio y a Botticelli.

Del periodo 1474-1476 es el Retrato de mujer de Washington, identificada con Ginevra Benci.

Dos pinturas parecen datar de su época en el taller de Verrocchio, dos Anunciaciones, ambas siguiendo la colocación tradicional que proviene de las conocidas obras de Fra Angélico. Una es pequeña, de 59 centímetros de largo y sólo 14 de alto. Es una predela que iría en la base de una composición más grande, en este caso un cuadro de Lorenzo di Credi del cual ha quedado separado. María aparta sus ojos y cruza las manos en un gesto que simboliza la sumisión al deseo de Dios. Data aproximadamente de 1478. La otra Anunciación es una obra mucho más grande, de 217 cm de largo; en ella, María no es en modo alguno sumisa, sino que acepta su destino con confianza.

En 1478, según él mismo escribió, empezó a pintar dos Vírgenes con Niño, creyéndose que son la Madona Benois y la Virgen del clavel.

Pinturas de los años 1480

En los años 1480, Leonardo recibió tres encargos muy importantes, y comenzó otra obra que tenía una trascendental importancia en términos de composición. Desafortunadamente, dos de las tres nunca se acabaron y la tercera le llevó tanto tiempo que quedó sometida a largas negociaciones sobre su acabado y pago.

Una de estas pinturas es la de San Jerónimo en el castillo. El sereno diseño de esta composición, los elementos del paisaje, y el drama personal vuelven a aparecer en su gran obra maestra inacabada, La adoración de los magos, un encargo de los monjes de San Donato a Scopeto. Para esta compleja composición Leonardo realizó numerosos dibujos y estudios preparatorios, incluyendo uno detallado en perspectiva lineal de una arquitectura clásica en ruinas que forma parte del fondo de la escena. Pero en 1482 Leonardo marchó a Milán a requerimiento de Lorenzo de Médici para obtener el favor con Ludovico Sforza y la pintura quedó abandonada. Es un ejemplo de Leonardo como pintor compulsivo que a menudo planeaba grandes obras pictóricas para abandonarlas sin terminar.

La tercera obra importante de este periodo es La Virgen de las Rocas que fue encargada en Milán por la Fraternidad de la Inmaculada Concepción. El cuadro, que hizo con la ayuda de los hermanos Predi, iba a llenar un retablo complejo y grande, ya construido. Hizo dos versiones del mismo tema, una para la capilla de la Fraternidad y la otra que Leonardo llevó a Francia.

De los años 1485-1490 es el Retrato de Cecilia Gallerani conocido como La dama del armiño, hoy en el Museo Czartoryski de Cracovia.

Pinturas de los años 1490

La más famosa obra de esta década es La Última Cena, también pintada en Milán. Representa la última cena que compartieron Jesús y sus discípulos antes de su captura y muerte. Muestra el momento en que Jesús ha dicho "uno de vosotros me traicionará". ^{Véase la pintura en otro lugar de esta página.}

Cuando acabó, la pintura fue alabada como una obra maestra de diseño y caracterización. Pero también se denunció que nada más acabarse ya empezaba a desprenderse de la pared. Leonardo, en lugar de usar la fiable técnica del fresco había experimentado con diferentes agentes aglutinadores de la pintura, que fueron afectados por moho y se escamaron. A pesar de ello, la pintura se ha mantenido como una de las obras de arte más reproducidas, con innumerables copias realizadas en todo tipo de medios, desde alfombras hasta camafeos.

En este último decenio de siglo realizó importantes pinturas de caballete, como la Madona Litta (1490-1491), cuya atribución a Leonardo es, sin embargo, discutida; el Retrato de un músico (Josquin Des Pres o Franchino Gaffurio, en la Pinacoteca Ambrosiana) y el Retrato de dama llamado La Belle Ferronière (1490-1496), hoy en el Louvre.

Pinturas de los años 1500

Entre las obras de este periodo está el pequeño retrato conocido como la Mona Lisa o la Gioconda, la sonriente.

En La Virgen, el Niño Jesús y santa Ana la composición de nuevo escoge el tema de figuras en un paisaje. Se remonta al cuadro de San Jerónimo con la figura dispuesta en un ángulo oblicuo. Lo que hace inusual a esta pintura es que hay dos figuras colocadas de forma oblicua, superpuestas. Leonardo muestra en esta obra una serie de rasgos que serían adoptados por los pintores venecianos como Tiziano y Tintoretto, así como Andrea del Sarto, Pontormo y Correggio.

De esta época final es la Leda y el cisne, que hoy sólo se conserva mediante copia.

Referencias para esta sección de Leonardo's painting: della Chiesa,^[11] Wasserman.^[12]

Dibujos

Leonardo no fue pintor prolífico, pero sí lo fue como dibujante, manteniendo diarios llenos de pequeños esbozos y detallados dibujos que documentan todo tipo de cosas que llamaran su atención. Además de los diarios, hay muchos estudios de sus pinturas, algunos de los cuales pueden identificarse como preparatorios de algunas obras concretas como La adoración de los Magos, La Virgen de las Rocas y La última Cena.

El 5 de agosto de 1473 Leonardo fecha su primera obra cierta: un Paisaje del valle del Arno, que muestra el río, las montañas, el castillo de Montelupo y las granjas que quedan detrás, con gran detalle. Hoy está en los Uffizi.

Entre sus famosos dibujos está el Hombre de Vitruvio, un estudio de las proporciones del cuerpo humano, la Cabeza de un ángel, para La Virgen de las Rocas del Louvre, un estudio botánico de Estrella de Belén y un gran dibujo (160×100 cm.) en tiza negra sobre papel coloreado de La Virgen, el Niño Jesús, santa Ana y san Juan Bautista en la National Gallery de Londres. Este dibujo emplea la sutil técnica del sfumato para sombrear, al estilo de la Mona Lisa. Se cree que Leonardo nunca hizo con ello una pintura, siendo lo más parecido La Virgen, el Niño Jesús y santa Ana del Louvre.

Otros interesantes dibujos incluyen numerosos estudios de deformidades faciales a los que frecuentemente se les llama "caricaturas" (Cabezas grotescas, h. 1490), cuando un examen detenido de las proporciones del esqueleto indica que la mayor parte están basadas en modelos reales.

Hay numerosos estudios del bello joven, Salaino, con sus raros y muy admirados rasgos faciales, el llamado "perfil griego".^[13] A menudo lo representa con disfraces. Se sabe que Leonardo diseñó decorados para cabalgatas, con lo que pueden relacionarse estos dibujos. Otros dibujos, a menudo meticulosos, muestran estudios de drapeados. Un marcado desarrollo en la habilidad de Leonardo de pintar los ropajes se aprecia en sus primeras obras.

Otro dibujo muy reproducido es el dibujo de un ahorcado, Figura d'impiccato, hoy en el Museo Léon-Bonnat de Bayona: es un esbozo macabro realizado en Florencia en 1479 mostrando el cuerpo de Bernado di Bandino Baroncelli, por su intervención en la conspiración de los Pazzi. Con la frialdad de un notario, Leonardo apunta junto al dibujo el tipo y color de las ropas que Baroncelli llevaba cuando murió.^[14]

Hacia 1508 realizó el hermoso dibujo femenino conocido como La despeinada.

Referencia de esta sección, Popham^[15]

Escultura

No ha llegado a nuestros días ninguna de sus esculturas. El proyecto escultórico de Leonardo del que más se sabe es el que de una estatua ecuestre que representara a Francisco Sforza, padre de Ludovico el Moro. Sobrepasaba en tamaño las otras dos estatuas ecuestres de bronce del Renacimiento: Gattamelata de Donatello en Padua y Bartolomeo Colleoni de Verrocchio en Venecia.

Leonardo ejecutó en arcilla el modelo, conocido como el "Gran Caballo". Estaba previsto que fuera una estatua en bronce, de 8 metros de altura, y se alzaría en Milán. Se prepararon 70 toneladas de metal para moldearla. El monumento quedó sin acabar durante varios años, lo que no era inusual en Leonardo. Miguel Ángel dijo que Leonardo no era capaz de fundir la estatua.^[4] En 1495 el bronce se usó para fabricar cañones para el Duque en un intento de salvar Milán de los franceses bajo el reinado de Carlos VIII de Francia en 1495.

Por iniciativa privada, se construyó en 1999 en Nueva York una estatua construida según sus planos que fue donada a la ciudad de Milán, donde se erigió.

Notas científicas y técnicas

Leonardo no fue un hombre culto al estilo de su época: no aprendió latín y no era el prototipo de humanista, llamándose a sí mismo "hombre sin letras", por lo que era ignorado por los estudiosos contemporáneos. Tampoco dominaba el álgebra, por lo que resulta excesivo considerarlo un matemático. Sin embargo, hoy en día aún sorprenden sus trabajos sobre ingeniería, los pájaros, el vuelo y otras áreas que suscitaron su insaciable curiosidad.

Registraba con minuciosidad sus elucubraciones sobre temas técnicos y científicos. Combinaba en ellas perfectamente el arte con la ciencia para representar de la mejor manera posible la materialización de sus ideas. Con cierto afán críptico, como si no quisiera desvelar del todo sus descubrimientos, Leonardo escribía de derecha a izquierda todos sus diarios, utilizando la llamada escritura especular, por ser zurdo, de manera que de no tener costumbre, para poder leer sus escritos, había que utilizar un espejo.

Dotado de una aguda capacidad de observación, su aproximación a la ciencia nunca destacó por sus explicaciones teóricas ni por recurrir a experimentos; en cambio, para comprender los fenómenos que le interesaban los describía y dibujada hasta sus últimos detalles; planeando realizar una gran enciclopedia basada en detallados dibujos de todo lo conocido.

Relativamente pocos de sus diseños fueron construidos o eran posibles en vida del autor.

Sus detallados estudios de la anatomía son quizá más impresionantes que sus trabajos pictóricos. La formación de Leonardo en la anatomía del cuerpo humano comenzó durante su aprendizaje con Andrea del Verrocchio, pues este maestro insistía en que todos sus alumnos aprendieran anatomía. Como artista, rápidamente se hizo maestro de anatomía topográfica, dibujando muchos estudios de músculos, tendones y otros rasgos anatómicos visibles; igualmente, dibujó el corazón y el sistema vascular, los órganos sexuales, y otros órganos internos. Hizo uno de los primeros dibujos científicos de un feto in utero.

Como artista de éxito, obtuvo permiso para diseccionar cadáveres humanos en el Hospital de Santa Maria Nuova en Florencia y más tarde en hospitales de Milán y Roma. Produjo muchos dibujos anatómicos extremadamente detallados. El ejemplo más destacado es el Hombre de Vitruvio (h. 1490), estudio de las proporciones humanas basado en el tratado recién descubierto del arquitecto romano Marco Vitruvio.

De 1510 a 1511 colaboró en sus estudios con el doctor Marcantonio della Torre y juntos prepararon un trabajo teórico sobre la anatomía para la que Leonardo hizo más de 200 dibujos. Se publicó sólo en 1680 (161 años después de su muerte) con el título de Tratado sobre la pintura.

Igualmente estudió y dibujó la anatomía de muchos otros animales. Diseccionó vacas, pájaros, monos, osos, y ranas, comparando en sus dibujos su estructura anatómica con la de los humanos. Hizo también una serie de estudios de caballos.

Como artista, Leonardo observó atentamente y documentó los efectos de la edad y de la emoción humana sobre la fisiología, estudiando en particular los efectos de la ira. También dibujó muchos modelos de personas con significativas deformidades faciales o signos de enfermedad.

Sus notas contienen dibujos de numerosas innovaciones como diversas máquinas para volar, incluido un artefacto parecido el helicóptero. El 3 de enero de 1496 ensayó una de sus máquinas para volar sin éxito. Estudió o prefiguró armas de fuego, tanques armados, el esnórquel de buceo, el paracaídas, un submarino y un dispositivo con engranajes que se cree era una máquina para calcular.

En 1502 Leonardo proyectó un puente de 240 m de luz que formaba parte de un proyecto de construcción para el Sultán Bayaceto II de Constantinopla. La obra jamás se realizó, sin embargo, en 2001, la idea se resucitó para la construcción de un puente más pequeño en Noruega basado en el diseño de Leonardo.

Además hizo certeras observaciones sobre diversos restos de fósiles.

Leonardo nunca publicó o distribuyó los contenidos de sus manuscritos que permanecieron inéditos hasta el siglo XIX cuando pudieron conocerse sus contribuciones al desarrollo técnico y científico. Por esta razón L. Sprague de Camp le considera no como el primer ingeniero moderno, sino como el último de los ingenieros de la antigüedad, haciendo notar que tras la época de Leonardo se formalizó la publicación de los descubrimientos científicos. Sus contribuciones a otras artes, por ejemplo la escultura, y a ciencias como ingeniería, mecánica, física, biología, arquitectura, anatomía, geología y matemáticas fue decisiva. Considera a estas últimas como la llave de la naturaleza. Aunque su obra conocida en esta especialidad no está escrita con suficiente rigor ni los resultados obtenidos fueron decisivos en aquel momento, merece, sin embargo, ser considerado en la historia del pensamiento matemático universal por sus prodigiosas intuiciones, en particular, las de carácter geométrico. Algunas de ellas se plasmaron en realidades en los siglos posteriores.

Legado. Los manuscritos de Leonardo da Vinci

Después de la muerte de Leonardo, y al haberlo estipulado así en su testamento, algunos libros, todos sus cuadernos de notas, dibujos y otros papeles, que reflejaban cabalmente su obra y pensamiento, quedaron bajo la custodia de su fiel discípulo Francesco Melzi.

Melzi, quien, consciente de la magnitud de la obra del maestro, se entregó a la ardua tarea de ordenar y catalogar las miles de hojas con anotaciones y dibujos de diversa índole, escritas por ambas caras, salpicadas de numerosas ideas, dibujos y bocetos. Objetivo que logró satisfactoriamente, en la tranquilidad de su hermosa villa en Vaprio d'Adda, una localidad cerca de Milán, lugar a donde llevó su valiosa herencia, dándole al legado de su maestro una unidad bastante notable, utilizando para ello, un criterio lógico y simple. De lo recopilado, el resultado más coherente y terminado fue su "Tratado de la pintura", cuyo contenido se transcribió, años más tarde, a lo que se llamó el Códice de Urbino, conservado hasta hoy en la biblioteca del Vaticano.

Lamentablemente, lo que parecía ya seguro en manos de Melzi, comenzará a fragmentarse, lentamente, a partir de su muerte, acaecida en 1570, cuando sus bienes se reparten entre sus 5 hijos. Orazio Melzi, uno de ellos, fue quien se quedó con la totalidad de los cuadernos y papeles ordenados por su padre, pero ignorando el valor de estos y no sabiendo que hacer con ellos, los amontonó en una bodega, donde permanecieron deteriorándose.

En algún momento fueron hallados por Lelio Gavardi, preceptor de la Casa Melzi. Como juzga muy bien la importancia del descubrimiento, piensa en la manera de llevarse parte de este tesoro. Así, al poco tiempo, logra sustraer 13 manuscritos. Con el plan de obtener algún beneficio económico, intenta venderlos a algunos personajes notables, pero fracasa en varias oportunidades. Ya preocupado, y a causa de la intervención de un tercero, decide devolverlos. De esta forma comienza el ir y venir de los documentos y otros más, a manos de distintos interesados e inescrupulosos que se habían enterado del importante hallazgo, generándose la ya mencionada y ominosa fragmentación, y la inexorable dispersión de lo laboriosamente conseguido por Francesco Melzi.

Los destinos de los manuscritos fueron tomando, con el curso del tiempo y las circunstancias de la historia, diversos caminos. Hoy los principales manuscritos de Leonardo se encuentran repartidos por varios países. En Europa se distribuyen entre Italia, Francia, Inglaterra y España. Y en el nuevo mundo, podemos hallarlos en Estados Unidos. En tanto hojas sueltas están aún dispersas en distintos lugares del Viejo Continente.

1452	Nace en Vinci (Italia).
1466	Ingresa como aprendiz en el taller de Andrea del Verrocchio.
1472	Se inscribe en el Libro Rosso del debitori e creditori de la Cofradia de Pintores florentinos.
1478	Pinta el gran retablo inacabado de la Adoración de los reyes (Galería de los Uffizi).
1481	Solicita a Ludovico el Moro entrar a su servicio como ingeniero, inventor, arquitecto y artista.
1482	Abandona la corte de los Médicis y se presenta ante Ludovico Sforza en Milán, donde permanecerá diecisiete años.
1483	Emprende la pintura de La Virgen de las Rocas, que no entregará hasta 1490.
1494	Se publica la Divina proportione, obra de Luca Pacioli, ilustrada por Leonardo.
1495	Inicia en la residencia de los Sforza la decoración de los Camerini.
1498	Acaba la pintura mural de La última cena, en el refrectorio de Santa Maria delle Grazie, en Milán. Inicia con Luca Paccioli estudios de matemáticas y geometría. Realiza el retrato de Lucrezia Crivelli.
1499	Se traslada a Venecia.
1503	Realiza los proyectos para la canalización del Arno. Empieza a pintar el retrato de Lisa Gherardini, La Gioconda.
1506	Regresa a Milán llamado por Charles d'Amboise, como arquitecto y pintor de la corte.
1507	Trabaja en experimentos sobre el vuelo.
1513	Se instala en Roma al servicio de Giuliano de Médicis. Empieza su tratado sobre el arte de pintar.
1516	Se traslada a Francia invitado como primer pintor de la corte por el rey Francisco I, el cual le asigna como residencia privada el castillo de Cloux.
1519	Muere en Cloux.

citas de leonardo

• * Quien de verdad sabe de qué habla, no encuentra razones para levantar la voz.
• * Así como una jornada bien empleada produce un dulce sueño, así una vida bien usada causa una dulce muerte.
• * Si es posible, se debe hacer reír hasta a los muertos.
• * Donde hay más sensibilidad, allí es más fuerte el martirio.
• * Reprende al amigo en secreto y alábalo en público.
• * El que no valora la vida no se la merece.
• * Todo pasa; sólo la serenidad permanece.
• * Tu propio interés te sirve mejor no dejándote llevar por él.
• * La tontería protege de la vergüenza, igual que el atrevimiento de la pobreza.
• * Si estás solo, serás todo tuyo, y si estás acompañado por una sola persona, serás medio tuyo.
• * La desigualdad es el origen de todos los movimientos locales.
• * Nuestras mayores tonterias pueden ser muy sabias.
• * Trato de hablar bien del malvado como mal del bueno.
• * Quien piensa poco, yerra mucho.
• * Donde radique el mérito, si en dar todo por nada, o a partir de la nada poder crearlo todo.
• * Es imposible amar algo ni odiar algo, sin empezar a conocerlo.
• * La amenaza es el arma del amenazado.
• * No se puede poseer mayor gobierno, ni menor, que el de uno mismo.
• * Todo lo que hay de bello en el hombre pasa y no dura.
• * Aquel que más posee, más miedo tiene de perderlo.
• * Cuando la fortuna viene, tómala a mansalva y por delante, pues por detrás es calva.
• * El que pretende enriquecerse en un día, sé vera apremiado todo el año.
• * Muchas personas, después de haber encontrado el bien, siguen buscando y encuentran el mal.
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• * Quien no castiga el mal ordena que se haga.
• * Así como el hierro se oxida por falta de uso, también la inactividad destruye el intelecto.
• * La sabiduría es la hija de la experiencia.
• * Nada nos engaña tanto como nuestro propio juicio.
• * El movimiento es causa de toda la vida.
• * Los que se enamoran de la práctica sin la teoría son como los pilotos sin timón ni brújula, que nunca podrán saber a dónde van.
• * Son vanas y están plagadas de errores las ciencias que no han nacido del experimento, madre de toda certidumbre.
• * La ciencia más útil es aquella cuyo fruto es el más comunicable.
• * Pobre del estudiante que no aventaje a su maestro.
• * Todo conocimiento comienza por los sentimientos.
• * Si una persona es perseverante, aunque sea dura de entendimiento, se hará inteligente; y aunque sea débil se transformará en fuerte.
• * La pintura es poesía muda; la poesía pintura ciega.
• * La belleza perece en la vida, pero es inmortal en el arte.
• * El ojo recibe de la belleza pintada el mismo placer que de la belleza real.

• * He ofendido a dios y a la humanidad porque mi trabajo no tuvo la calidad que debía haber tenido.
• * Verdaderamente, el hombre es el rey de los animales, pues su brutalidad supera a la de éstos.
• * El agua es el vehículo de la naturaleza.
• * Hasta el más pequeño de los felinos es una obra de arte.
• * La naturaleza benigna provee de manera que en cualquier parte halles algo que aprender.
• * Llegará un tiempo en que los seres humanos se contentarán con una alimentación vegetal y se considerará la matanza de un animal como un crimen, igual que el asesinato de un ser humano.

El hombre de Vitrubio es un claro ejemplo del enfoque globalizador de Leonardo que se desarrolló muy rápidamente durante la segunda mitad de la década de 1480. Trataba de vincular la arquitectura y el cuerpo humano, un aspecto de su interpretación de la naturaleza y del lugar de la humanidad en el "plan global de las cosas". En este dibujo representa las proporciones que podían establecerse en el cuerpo humano (por ejemplo, la proporción áurea). Para Leonardo, el hombre era el modelo del universo y lo más importante era vincular lo que descubría en el interior del cuerpo humano con lo que observaba en la naturaleza.